Xâu (string) xuất hiện rất nhiều trong các bài toán. Bài viết này giới thiệu sơ qua một số thuật ngữ cũng như thuật toán về xâu.

Thuật ngữ

  • Một xâu $X$ là xâu con (substring) của một xâu $Y$ nếu $X$ là một chuỗi các ký tự liên tiếp của $Y$. Ví dụ: abbc là 2 xâu con của abcd. Nhưng ac thì không phải là xâu con của abcd.
  • Một xâu $X$ là tiền tố (prefix) của một xâu $Y$ nếu $X$ là xâu con của $Y$ và $X$ xuất hiện ở đầu của xâu $Y$. Ví dụ: ab là tiền tố của abcd, nhưng bc không phải là tiền tố của abcd. Một xâu $X$ là một tiền tố không tầm thường (proper prefix) của xâu $Y$ nếu nó là tiền tố của xâu $Y$ và khác xâu $Y$.
  • Một xâu $X$ là hậu tố (hậu tố) của một xâu $Y$ nếu $X$ là xâu con của $Y$ và $X$ xuất hiện ở cuối của xâu $Y$. Ví dụ: cd là hậu tố của abcd, nhưng bc không phải là hậu tố của abcd. Một xâu $X$ là một hậu tố không tầm thường (proper suffix) của xâu $Y$ nếu nó là hậu tố của xâu $Y$ và khác xâu $Y$.

Các dạng bài

So khớp chuỗi (string matching)

Cho một xâu $T$ và xâu $S$. Tìm tất cả các lần xuất hiện của xâu $S$ trong xâu $T$.

Ví dụ:

S = abc
T = abcabcabc

Các lần xuất hiện: 1, 4, 7.

Bài toán này còn được gọi là tìm kiếm cây kim (needle) trong đống rơm (haystack), vì nó xuất hiện trong thực tế khi ta cần tìm một xâu rất nhỏ trong một lượng dữ liệu rất lớn (ví dụ Google cần tìm từ khóa trong hàng tỉ tỉ trang web).

Có 3 thuật toán chính để giải quyết bài này, đó là:

Xâu đối xứng (Palindrome)

Palindrome hay còn gọi là xâu đối xứng, xâu đối gương là tên gọi của những xâu kí tự mà khi viết từ phải qua trái hay từ trái qua phải thì xâu đó không thay đổi. VD: MADAM, IOI,...

Có rất nhiều bài tập liên quan đến xâu đối xứng. Các bạn có thể tìm đọc ở trong các bài viết:

Cấu trúc dữ liệu

  • Trie là CTDL cơ bản nhất trong xử lý xâu. Nó giúp giải quyết các bài toán về tìm kiếm xâu.
  • Lớp CTDL được gọi chung là Suffix Structures gồm:

    Gọi chung như vậy vì các CTDL này có thể dùng thay thế nhau để giải quyết cùng một lớp bài toán liên quan đến các suffix của cây.

Các bài Ad-hoc

Trong xử lý xâu còn một vài thuật toán chỉ áp dụng được cho 1 bài toán (ad-hoc).

Thuật toán Manacher

Bài toán

Cho xâu $S$.

  • Với mỗi vị trí $i$ của xâu $S$, tìm xâu đối xứng dài nhất nhận $i$ là tâm.
  • Với mỗi cặp $i$, $i+1$ của xâu $S$, tìm xâu đối xứng dài nhất nhận $i$ và $i+1$ là tâm.

Mô tả thuật toán

Tham khảo thêm ở link

Code

const char DUMMY = '.';

int manacher(string s) {
  // Để tránh phải xét riêng trường hợp độ dài xâu đối xứng chẵn / lẻ,
  // ta thêm 1 ký tự DUMMY vào giữa các ký tự của s.
  // CHÚ Ý: Phải đảm bảo DUMMY không có trong xâu s

	int n = s.size() * 2 - 1;
	vector <int> f = vector <int>(n, 0);

  // Tạo xâu a bằng cách chèn ký tự DUMMY vào giữa các ký tự của s.
  // Ví dụ:
  // s = aabcb
  // a = a.a.b.c.b
	string a = string(n, DUMMY);
	for (int i = 0; i < n; i += 2) a[i] = s[i / 2];

	int l = 0, r = -1, center, res = 0;
	for (int i = 0, j = 0; i < n; i++) {
		j = (i > r ? 0 : min(f[l + r - i], r - i)) + 1;
		while (i - j >= 0 && i + j < n && a[i - j] == a[i + j]) j++;
		f[i] = --j;
		if (i + j > r) {
			r = i + j;
			l = i - j;
		}

		int len = (f[i] + i % 2) / 2 * 2 + 1 - i % 2;
		if (len > res) {
			res = len;
			center = i;
		}
	}
  // Với mỗi vị trí i, xâu đối xứng dài nhất nhận i là tâm là [i - f[i], i + f[i]].
  // Ví dụ:
  // s = aabcb
  // a = a.a.b.c.b
  // f = 011010200
	return res;
}

Minimal string rotation

Bài toán

Cho một xâu $S$. Xét các xâu thu được từ xâu $S$ bằng phép xoay. Ví dụ: S = abcd, thì các xâu thu được từ $S$ bằng phép xoay là:

  • abcd
  • bcda
  • cdab
  • dabc

Tìm xâu có thứ tự từ điển nhỏ nhất.

Mô tả thuật toán

Bạn có thể xem ở đây

Code

// Tính vị trí của xâu xoay vòng có thứ tự từ điển nhỏ nhất của xâu s[]
int minmove(string s) {
	int n = s.length();
	int x, y, i, j, u, v; // x is the smallest string before string y
	for (x = 0, y = 1; y < n; ++ y) {
		i = u = x;
		j = v = y;
		while (s[i] == s[j]) {
			++ u; ++ v;
			if (++ i == n) i = 0;
			if (++ j == n) j = 0;
			if (i == x) break; // All strings are equal
		}
		if (s[i] <= s[j]) y = v;
		else {
			x = y;
			if (u > y) y = u;
		}
	}
	return x;
}

Lyndon Decomposition

Bài toán

Lyndon word là các xâu khác rỗng, mà có thứ tự từ điển nhỏ hơn tất cả các xâu thu được bằng phép xoay của nó.

Cho một xâu $S$. Tìm cách tách $S$ thành ít nhất các xâu, sao cho mỗi xâu đều là Lyndon word.

Code

void lyndon(string s) {
	int n = (int) s.length();
	int i = 0;
	while (i < n) {
		int j = i + 1, k = i;
		while (j < n && s[k] <= s[j]) {
			if (s[k] < s[j]) k = i;
			else ++k;
			++j;
		}
		while (i <= k) {
			cout << s.substr(i, j - k) << ' ';
			i += j - k;
		}
	}
	cout << endl;
}