Tác giả: Nguyễn Hoành Tiến
Palindrome hay còn gọi là xâu đối xứng, xâu đối gương là tên gọi của những xâu kí tự mà khi viết từ phải qua trái hay từ trái qua phải thì xâu đó không thay đổi. VD: MADAM, IOI,… Nhờ tính chất đặc biệt đó mà có khá nhiều bài tập có liên quan đến Palindrome, phần lớn trong chúng thường đi kèm với QHĐ. Tôi xin giới thiệu với các bạn một vài bài tập như vậy.
Bài toán: Cho 1 xâu. Kiểm tra nó có phải là Palindrome hay không?
Đây là một bài cơ bản, nhưng quan trọng vì nó được đề cập đến trong nhiều bài tập khác. Cách làm tốt nhất là duyệt đơn thuần mất $O(N)$.
function is_palindrome(s: string): boolean;
var i, n : integer;
begin
n := length(s);
for i := 1 to (n div 2) do
if s[i] <> s[n+1-i] then exit(false);
exit(true);
end;
Một đoạn chương trình khác:
function is_palindrome(s : string) : boolean;
var i, j : integer;
begin
i := 1;
j := length(n);
while (i<j)
begin
if s[i] <> s[j] then exit(false);
inc(i);
dec(j);
end;
exit(true);
end;
Bài toán: Cho một xâu S, độ dài không quá 1000 kí tự. Tìm palindrome dài nhất là xâu con của S (Xâu con là một dãy các kí tự liên tiếp).
Đây cũng là một bài cơ bản với nhiều cách làm.
Dùng mảng F[i, j] có ý nghĩa: F[i, j] = true/false nếu đoạn gồm các kí tự từ $i$ đến $j$ của $S$ có/không là palindrome.
Ta có công thức là:
F[i, i] = True: xâu 1 ký tự luôn đối xứng.F[i, j] = F[i+1, j-1] nếu $S_i = S_j$.F[i, j] = False nếu $S_i \ne S_j$.Đoạn chương trình như sau:
FillChar( F, sizeof(F), false );
for i := 1 to n do
F[i, i] := True;
for i := 1 to n-1 do
F[i+1, i] := True;
for k := 1 to (n-1) do
for i := 1 to (n-k) do
begin
j := i + k;
F[i, j] := ( F[i+1, j-1] ) and (s[i] = s[j] );
end;Kết quả là: $Max(j-i+1) \le j$ thỏa $F[i,j] = True$.
Độ phức tạp thuật toán là $O(N^2)$.
Chú ý: Với $N$ lớn, ta phải thay mảng 2 chiều $F$ bằng 3 mảng 1 chiều và dùng thêm biến max lưu giá trị tối ưu.
Ta xét từng vị trí $i$:
Đoạn chương trình như sau:
Procedure Lam;
var i, j : Longint ;
procedure try( first, last : Longint );
var dd : Longint;
begin
if first = last then
begin
dd := 1;
dec(first);
inc(last);
end
else dd := 0;
repeat
if (first < 1) or (last > N) then break;
if s[i] = s[j] then
begin
dd := dd + 2;
first := first - 1;
last := last + 1;
end
else break;
until false;
if max < dd then max := dd;
end;
begin
i := n div 2;
j := n div 2 + 1;
max := 1;
while (i > max div 2) and (j <= N-max div 2) do
begin
if i > max div 2 then
begin
try( i, i );
try( i, i+1 );
end;
if j <= N - max div 2 then
begin
try( j, j );
try( j, j+1 );
end;
i := i - 1;
j := j + 1;
end;
end;Cách làm này có độ phức tạp: $max * (N-max)$. Vì vậy nó chạy nhanh hơn cách QHĐ trên, thời gian chậm nhất khi tất cả các ký tự giống nhau (khi đó, $max = N/2$): cũng chỉ mất $N^2/4$ và nhanh gấp 4 lần cách dùng QHĐ. Nhờ vậy, chúng ta biết là: không phải lúc nào QHĐ cũng chấp nhận được về mặt thời gian và không phải lúc nào duyệt lúc nào cũng chậm.
Bài này còn có một cách NlogN nữa là dùng Suffix Aray, thậm chí có cách $O(N)$ là sử dụng Suffix Tree và thuật toán tìm LCA. Đương nhiên cách cài đặt không hề dễ dàng, tôi sẽ thảo luận với các bạn vào một dịp khác.
Bài toán: Cho 1 xâu độ dài không quá 1000. Chia nó thành ít nhất các Palindrome.
Bài này phức tạp hơn bài trên, cách làm thì vẫn là QHĐ.
Đoạn chương trình như sau:
F[0] := INFINITY;
for i := 1 to n do
for j := i-1 downto 0 do
if (isPalindrome(j+1, i)) then F[i] := min(F[i], F[j]+1);
Hai vòng for lồng nhau mất $O(N^2)$, phần kiểm tra đoạn $j+1..i$ là palindrome hay không mất O(N), vậy độ phức tạp thuật toán là $O(N^3)$. Sẽ không được khả thi nếu $N = 1000$. Để giảm độ phức tạp thuật toán, ta sử dụng mảng $L[i, j]$ có ý nghĩa tương tự như mảng $F[i, j]$ ở bài 1. QHĐ lập mảng $L[i, j]$ mất $O(N^2)$. Tổng cộng là $O(N^2)$ vì mỗi lần kiểm tra chỉ mất $O(1)$.
Một cách khác sử dụng ít bộ nhớ hơn là dùng hai mảng một chiều $L_i$ và $C_i$ có ý nghĩa:
function is_palindrome(i, j : integer) : boolean;
var dd : integer;
begin
dd := j-i+1;
if odd (dd) then is_palindrome := (L[(i+j) div 2] >= n)
else is_palindrome := (C[(i+j) div 2] >= n)
end;Vậy thuật toán của chúng ta có độ phức tạp tính toán là $O(N^2)$, chi phí bộ nhớ là $O(N)$.
Bài toán: Cho một xâu, hỏi nó có bao nhiêu xâu con là palindrome; xâu con ở đây gồm các kí tự không cần liên tiếp độ dài không quá 120.
Ví dụ, xâu "IOICAMP" có 9 xâu con là palindrome:
I
O
I
C
A
M
P
II
IOIĐây là một bài tập rất thú vị. Phương pháp là dùng QHĐ.
F[i, i] = 1F[i, j] = F[i+1, j] + F[i, j-1] - F[i+1, j-1] + TT = F[i+1, j-1] + 1
T = 0
Đoạn chương trình như sau:
procedure lam;
var k, i, j : integer;
begin
n := length(s);
for i := 1 to n do
F[i, i] := 1;
for k := 1 to n-1 do
for i := 1 to n-k do
begin
j := i+k;
F[i, j] := F[i, j-1] + F[i+1, j] - F[i+1, j-1];
if s[i] = s[j] then F[i, j] := F[i, j] + F[i+1, j-1] + 1;
end;
end;Để chương trình chạy nhanh hơn, chúng ta sửa lại đoạn mã một chút như sau:
procedure lam2;
var k, i, j : integer;
begin
n := length(s);
for i := 1 to n do
F[i, i] := 1;
for k := 1 to n do
for i := 1 to n-k do
begin
j := i+k;
F[i, j] := F[i, j-1] + F[i+1, j];
if s[i] = s[j] then F[i, j] := F[i, j] + 1
else F[i, j] := F[i, j] - F[i+1, j-1];
end;
end;Đoạn chương trình trên chỉ có tính mô phỏng, muốn hoàn thiện bạn phải cài đặt các phép tính cộng trừ số lớn vì kết quả có thể lên tới $2^{n-1}$. Độ phức tạp của thuật toán là $O(N^2)$. Vì vậy, chúng ta hoàn toàn có thể làm với $N = 1000$, khí đó cần rút gọn mảng $F$ thành ba mảng một chiều.
Bài toán: Cho một xâu độ dài không quá 500, hỏi phải thêm vào nó ít nhất bao nhiêu xâu kí tự để nó trở thành một palindrome.
Bài này cũng sử dụng QHĐ: Gọi $F[i, j]$ là số phép biến đổi ít nhất cần thêm vào đoạn $[i, j]$ để đoạn $[i, j]$ trở thành palindrome.
Ta có công thức:
F[i, i] = 0F[i, j] = F[i+1, j-1]
F[i, j] = Min( F[i, j-1], F[i+1, j] ) + 1
Bài này được ra từ thời năm 2000, khi đó bộ nhớ cho phép rất nhỏ. Muốn chương trình chạy với $n = 500$ thì cần rút gọn $F$ thành ba mảng một chiều. Muốn truy vết, bạn phải dùng mảng bit hoặc dùng dữ liệu động.